对于一个系统

x˙=ax2+ux→xd\dot{x}=ax^2+u\\x\rightarrow x_d

可以设定 e=xd−xe=x_d-x，并且使 e→0e→0，定义李雅普诺夫函数

V(e)=12e2:PDV(e)=\frac{1}{2}e^2:PD

得到

V˙(e)=ee˙=e(x˙d−ax2−u)\dot{V}(e)=e\dot{e}=e(\dot{x}_d-ax^2-u)

要使得上式负定，可以令 e˙=−ke\dot{e}=-ke ，就可以设置 u=x˙d−ax2+keu=\dot{x}_d-ax^2+ke，化简上式为

V˙(e)=−ke2:ND\dot{V}(e)=-ke^2:ND

但是对于上述例子，如果 aa 是未知的，或者是缓慢变化的数字（a˙=0\dot{a}=0）就难以控制，所以需要自适应控制器

可以引入估计值 a^\hat{a} 和估计误差 a~=a−a^\widetilde a=a-\hat{a}，所以 a~˙=a˙−a^˙=−a^˙\dot{\widetilde a}=\dot{a}-\dot{\hat{a}}=-\dot{\hat{a}}

所以设置李雅普诺夫函数

V(e,a~)=12e2+12a~2V(e,\widetilde a)=\frac{1}{2}e^2+\frac{1}{2}\widetilde a^2

求导得

V˙(e,a~)=ee˙+a~a~˙=e(x˙d−ax2−u)−a~a^˙\dot{V}(e,\widetilde a)=e\dot{e}+\widetilde a\dot{\widetilde a}=e(\dot{x}_d-{a}x^2-u)-\widetilde a\dot{\hat{a}}

所以可以令 u=x˙d−a^x2+keu=\dot{x}_d-\hat{a}x^2+ke，带入之后得

V˙(e,a~)=−ke2−a~(ex2+a^˙)−ke2:ND−a~(ex2+a^˙):未知\dot{V}(e,\widetilde a)=-ke^2-\widetilde a(ex^2+\dot{\hat{a}})\\-ke^2:ND\\-\widetilde a(ex^2+\dot{\hat{a}}):未知

要保证其负定，但是不能保证第二项负定，但是可以令第二项为 0

−a~(ex2+a^˙)=0⇓a^˙=−ex2V˙(e,a~)=−ke2:NSD-\widetilde a(ex^2+\dot{\hat{a}})=0\\\Downarrow\\\dot{\hat{a}}=-ex^2\\\dot{V}(e,\widetilde a)=-ke^2:NSD

引入一个引理

1◯ V≥02◯ g(t)≥0    V˙≤−g(t)3◯ g˙(t)∈L∞有界→g(t)连续⇓limt→∞ g(t)=0\text{\textcircled{1}}~V\geq 0\\\\ \text{\textcircled{2}}~g(t)\geq 0~~~~\dot{V}\leq -g(t)\\\\ \text{\textcircled{3}}~\dot{g}(t)\in L_{\infty}有界\rightarrow g(t)连续\\\\ \Downarrow\\\\ \underset{t\rightarrow \infty}{lim} ~g(t)=0

可以用于验证上式

1◯ V≥02◯ V=−ke2≤−(ke2)=−g(t),g(t)=ke2≥03◯ g˙(t)=2kee˙有界⇓limt→∞ g(t)=0⇓e→0\text{\textcircled{1}}~V\geq 0\\\\ \text{\textcircled{2}}~V=-ke^2\leq -(ke^2)=-g(t),g(t)=ke^2\geq 0\\\\ \text{\textcircled{3}}~\dot{g}(t)=2ke\dot{e}有界\\\\ \Downarrow\\\\ \underset{t\rightarrow \infty}{lim}~g(t)=0\\\\ \Downarrow\\\\ e\rightarrow 0

由于 a^˙=−ex2⇒a^=−∫0tex2dτ\dot{\hat{a}}=-ex^2 \Rightarrow \hat{a}=-\int_0^{t}ex^2d\tau ，可得

u=x˙d+x2∫0tex2dτ+keu=\dot{x}_d+x^2\int_0^{t}ex^2d\tau +ke

一个先前的例子

1708437413726.png

对于一个非线性弹簧滑块的系统，假设弹簧的力的与拉伸长度的关系为 F=αx3F=\alpha x^3，其中 α\alpha 是一个未知数

所以该系统的状态方程为

mx¨+αx3=Fm\ddot{x}+\alpha x^3=F

系统的输入为 FF，滑块位移为 xx，质量为 mm

规定滑块的目标轨迹为 x1dx_{1d}

令

x1=xx2=x˙x_1=x\\x_2=\dot{x}

所以得到

x˙1=x2  1◯x˙2=−αmx13+um  2◯\dot{x}_1=x_2~~\text{\textcircled{1}}\\\dot{x}_2=-\frac{\alpha}{m}x_1^3+\frac{u}{m}~~\text{\textcircled{2}}

所以可以通过控制输入来控制 x˙2\dot{x}_2 进而控制 x2x_2，从而控制 x1x_1

引入误差 ee

e=x1d−x1  3◯e=x_{1d}-x_1~~\text{\textcircled{3}}

从而目标变为 e→0e→0

求导得到

e˙=x˙1d−x˙1=x˙1d−x2  4◯\dot{e}=\dot{x}_{1d}-\dot{x}_1=\dot{x}_{1d}-x_2~~\text{\textcircled{4}}

可以找到一个李雅普诺夫函数 V(e)V(e) 使之渐进稳定，从而实现目标，设

V1(e)=12e2  5◯V_1(e)=\frac{1}{2}e^2~~\text{\textcircled{5}}

V1V_1 是一个正定的函数，求导得到

V˙1=e(x˙1d−x2)  6◯⇓x˙1d−x2=−k1eV˙1=−k1e2:ND\dot{V}_1=e(\dot{x}_{1d}-x_2)~~\text{\textcircled{6}}\\\\ \Downarrow\\\\ \dot{x}_{1d}-x_2=-k_1e\\\\ \dot{V}_1=-k_1e^2:ND

根据上述期望，可以设置x2x_2 的期望值

x2d=x˙1d+k1e  7◯x_{2d}=\dot{x}_{1d}+k_1e~~\text{\textcircled{7}}

所以目标变为 x2→x2dx_2→x_{2d}，令

δ=x2d−x2  8◯\delta=x_{2d}-x_2~~\text{\textcircled{8}}

将 8 带入到 6 中，得到

V˙1=e(x˙1d−(x2d−δ))\dot{V}_1=e(\dot{x}_{1d}-(x_{2d}-\delta))

带入 7 式

V˙1=−k1e2+eδ  9◯\dot{V}_1=-k_1e^2+e\delta~~\text{\textcircled{9}}

由于 δ˙=x˙2d−x˙2\dot{\delta}=\dot{x}_{2d}-\dot{x}_2，带入 2 式和 7 式，得

δ˙=x¨1d+k1e˙−(−αmx13+um)\dot{\delta}=\ddot{x}_{1d}+k_1\dot{e}-(-\frac{\alpha}{m}x_1^3+\frac{u}{m})

带入 4 式

δ˙=x¨1d+k1(x1d−x2)+αmx13−um  10◯\dot{\delta}=\ddot{x}_{1d}+k_1(x_{1d}-x_2)+\frac{\alpha}{m}x_1^3-\frac{u}{m}~~\text{\textcircled{10}}

此时就需要 δ→0,e→0\delta→0,e→0，需要找到新的李雅普诺夫函数 V(e,δ)V(e,\delta) 使之满足渐进稳定的条件了

V2=V1+12δ2:PDV_2=V_1+\frac{1}{2}\delta^2:PD

对上式求导得到

V˙2=V˙1+δδ˙=−k1e2+eδ+δδ˙=−k1e2+δ(e+δ˙)\dot{V}_2=\dot{V}_1+\delta\dot\delta=-k_1e^2+e\delta+\delta\dot\delta=-k_1e^2+\delta(e+\dot\delta)

为使之负定，可以设计使 e+δ˙=−k2δe+\dot\delta=-k_2\delta，带入 10 式得

e+x¨1d+k1(x1d−x2)+αmx13−um=−k2δe+\ddot{x}_{1d}+k_1(x_{1d}-x_2)+\frac{\alpha}{m}x_1^3-\frac{u}{m}=-k_2\delta

最终得到

u=me+mx¨1d+mk1(x˙1d−x2)+αx13+mk2δ  11◯u=me+m\ddot{x}_{1d}+mk_1(\dot{x}_{1d}-x_2)+\alpha x_1^3+mk_2\delta~~\text{\textcircled{11}}

由于上述中 α\alpha 未知，所以引入一个预测值 α^\hat{\alpha} 和预测差值 α~=α−α^→0\widetilde \alpha=\alpha-\hat{\alpha}\rightarrow0

设定一个新的李雅普诺夫方程

V3=12e2+12δ2+12α~2:PDV_3=\frac{1}{2}e^2+\frac{1}{2}\delta^2+\frac{1}{2}\widetilde \alpha^2:PD

求导得到

V˙3=ee˙+δδ˙+α~α~˙\dot{V}_3=e\dot{e}+\delta\dot\delta+\widetilde \alpha\dot{\widetilde \alpha}

并且有

u=me+mx¨1d+mk1(x˙1d−x2)+α^x13+mk2δ  11◯u=me+m\ddot{x}_{1d}+mk_1(\dot{x}_{1d}-x_2)+\hat\alpha x_1^3+mk_2\delta~~\text{\textcircled{11}}

带入其中得到

V˙3=−k1e2−k2δ2+α~(α^˙+δx13m)\dot{V}_3=-k_1e^2-k_2\delta^2+\widetilde \alpha(\dot{\hat{\alpha}}+\frac{\delta x_1^3}{m})

已知前两项为负定，不能保证第三项为负定，所以可以使第三项为 0

α^˙=−δx13m⇓α^=−∫0tδx13mdt\dot{\hat\alpha}=-\frac{\delta x_1^3}{m}\\\\ \Downarrow\\\\ \hat{\alpha}=-\int_0^t\frac{\delta x_1^3}{m}dt

则求出

u=me+mx¨1d+mk1(x˙1d−x2)−x13∫0tδx13mdt+mk2δ  11◯u=me+m\ddot{x}_{1d}+mk_1(\dot{x}_{1d}-x_2)-x_1^3\int_0^t\frac{\delta x_1^3}{m}dt+mk_2\delta~~\text{\textcircled{11}}