非线性系统控制器设计

对于一个非线性系统

$\dot{x}=f(x,u)$

假设 u 是 x 的函数

$u=\phi (x)$

所以得到系统状态图

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graph LR
A((u))-->B[f]-->C((x))
C-->D[Φ]-->A

反馈线性化

就是将传递函数 $f(x,u)$ 中的非线性部分通过调整 $\phi (x)$ 来抵消，最终得到的是一个线性的关系

例子

$\dot{x}=f(x,u)=ax^2+u$

可以使得 $u=\phi(x)=-ax^2-x$，其中 $-ax^2$ 用于抵消系统的非线性量，而 $-x$ 用于将系统保持平稳，得到

$\dot{x}=-x\\\\ \downarrow\\\\ x=e^{-t}$

当 $t→\infty$ 时， $x→0$

李雅普诺夫直接办法

需要选取李雅普诺夫函数来判断

例子

$\dot{x}=f(x,u)=x^2-x^3+u$

选定

$V=\frac{1}{2}x^2$

由于

$V(0)=0\\\\ V(x)>0~~x\not=0\\\\ \dot{V}=x^3-x^4+xu$

所以就需要设计 u 使 $\dot{V}$ 负定

已知

$x^3:非负定\\\\ -x^4:负定$

所以就需要选定 u 来消除 $x^3$

可以选择 $u=-x^2-x$，消除非负定项

最终得到

$\dot{x}=-x^3-x$

根据仿真的结果，可以看出，设计 $u$ 时一定要慎重考虑能耗和收敛速度的平衡关系

反步法

对于一个假定的系统

$\dot{x}_1=f_1=x_1^2+x_2\\\\ \dot{x_2}=f_2=x_1+u$

由于控制输入并不能直接作用到目标 $x_1$ 上，所以控制时就需要控制 $u\rightarrow\dot{x}_2→x_2→\dot{x}_1→x_1$，但是在设计时需要反过来设计，使之不断地满足李雅普诺夫的渐近稳定条件

步骤

设计一个 $x_2\rightarrow x_{2d}$ 使得 $x_1→x_{1d}$

引入一个误差 $e=x_{1d}-x_1$，并且使 $e→0$

需要设计一个李雅普诺夫函数 $V_1(e)=\frac{1}{2}e^2$，是个正定的函数，要想满足李雅普诺夫渐进稳定的条件，就保证导数负定就可以了

要使 $\dot{V}_1(e)=e\dot e$ 负定，可以使 $\dot{V}_1(e)=-k_1e^2$，也就是
$\dot{e}=\dot{x}_{1d}-\dot{x}_1=\dot{x}_{1d}-(x_1^2+x_2)=-k_1e$
根据上述假定的系统，要使上一步实现，就需要设定 $x_{2d}$，使该系统有一个这样的表现
$x_{2d}=k_1e+\dot{x}_{1d}-x_1^2$
设计 u 使得 $x_2→x_{2d}$

引入一个误差 $\delta=x_{2d}-x_2$，并且使 $\delta→0$，带入到 $\dot{V}_1$ 中得到
$\dot{V}_1=-k_1e^2$
此时设计一个李雅普诺夫函数 $V_2(e,\delta)=V_1(e)+\frac{1}{2}\delta^2$，可知它是一个正定的函数，要想满足李雅普诺夫渐进稳定的条件，就保证导数负定就可以了，其中 $x_2=x_{2d}-\delta$
$\dot{V}_2=e\dot{e}+\delta\dot{\delta}=e(\dot{x}_{1d}-x_1^2-(k_1e+\dot{x}_{1d}-x_1^2-\delta))+\delta\dot\delta=-k_1e^2+e\delta+\delta\dot\delta\\\\ \downarrow\\\\ \dot{V}_2=-k_1e^2+\delta(e+\dot\delta)$
所以要使之负定，就需要保证 $e+\dot\delta=-k_2\delta$，带入之后得到
$e+(k_1\dot{e}+\ddot{x}_{1d}-2x_1(x_1^2+x_2)-x_1-u)=-k_2(k_1e+\dot{x}_{1d}-x_1^2-x_2)$
最终得到
$u=e+k_1\dot{e}+\ddot{x}_{1d}-2x_1(x_1^2+x_2)-x_1+k_2(k_1e+\dot{x}_{1d}-x_1^2-x_2)$

一个反步法控制非线性系统的例子

对于一个非线性弹簧滑块的系统，假设弹簧的力的与拉伸长度的关系为 $F=\alpha x^3$

所以该系统的状态方程为

$m\ddot{x}+\alpha x^3=F$

系统的输入为 $F$，滑块位移为 $x$，质量为 $m$

规定滑块的目标轨迹为 $x_{1d}$

令

$x_1=x\\x_2=\dot{x}$

所以得到

$\dot{x}_1=x_2~~①\\\\ \dot{x}_2=-\frac{\alpha}{m}x_1^3+\frac{u}{m}~~②$

所以可以通过控制输入来控制 $\dot{x}_2$ 进而控制 $x_2$，从而控制 $x_1$

引入误差 $e$

$e=x_{1d}-x_1~~③$

从而目标变为 $e→0$

求导得到

$\dot{e}=\dot{x}_{1d}-\dot{x}_1=\dot{x}_{1d}-x_2~~④$

可以找到一个李雅普诺夫函数 $V(e)$ 使之渐进稳定，从而实现目标，设

$V_1(e)=\frac{1}{2}e^2~~⑤$

$V_1$ 是一个正定的函数，求导得到

$\dot{V}_1=e(\dot{x}_{1d}-x_2)~~⑥\\\\ \Downarrow\\\\ \dot{x}_{1d}-x_2=-k_1e\\\\ \dot{V}_1=-k_1e^2:ND$

根据上述期望，可以设置$x_2$ 的期望值

$x_{2d}=\dot{x}_{1d}+k_1e~~⑦$

所以目标变为 $x_2→x_{2d}$，令

$\delta=x_{2d}-x_2~~⑧$

将 8 带入到 6 中，得到

$\dot{V}_1=e(\dot{x}_{1d}-(x_{2d}-\delta))$

带入 7 式

$\dot{V}_1=-k_1e^2+e\delta~~⑨$

由于 $\dot{\delta}=\dot{x}_{2d}-\dot{x}_2$，带入 2 式和 7 式，得

$\dot{\delta}=\ddot{x}_{1d}+k_1\dot{e}-(-\frac{\alpha}{m}x_1^3+\frac{u}{m})$

带入 4 式

$\dot{\delta}=\ddot{x}_{1d}+k_1(x_{1d}-x_2)+\frac{\alpha}{m}x_1^3-\frac{u}{m}~~⑩$

此时就需要 $\delta→0,e→0$，需要找到新的李雅普诺夫函数 $V(e,\delta)$ 使之满足渐进稳定的条件了

$V_2=V_1+\frac{1}{2}\delta^2:PD$

对上式求导得到

$\dot{V}_2=\dot{V}_1+\delta\dot\delta=-k_1e^2+e\delta+\delta\dot\delta=-k_1e^2+\delta(e+\dot\delta)$

为使之负定，可以设计使 $e+\dot\delta=-k_2\delta$，带入 10 式得

$e+\ddot{x}_{1d}+k_1(x_{1d}-x_2)+\frac{\alpha}{m}x_1^3-\frac{u}{m}=-k_2\delta$

最终得到

$u=me+m\ddot{x}_{1d}+mk_1(\dot{x}_{1d}-x_2)+\alpha x_1^3+mk_2\delta~~⑪$

检验

将 8 式带入 4 式

$\dot{e}=\dot{x}_{1d}-(x_{2d}-\delta)=-k_1e+\delta$

将 11 式带入 10 式

$\dot{\delta}=-e-k_2\delta$

所以得到一个线性关系的系统

$\begin{bmatrix}\dot{e}\\\dot{\delta}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-k_1&1\\-1&-k_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}e\\\delta\end{bmatrix}$

可以分析一下系数矩阵的特征值

$\lambda_1+\lambda_2=-k_1-k_2 < 0\\\\ \lambda_1\lambda_2=k_1k_2+1 > 0\\\\ \downarrow\\\\ k_1,k_2<0$

由于平衡点在零点，而且特征值均小于 0 ，是一个渐近稳定的系统