系统的可控性

对于一个系统状态方程

$$\dot{X}=AX+Bu$$

离散型与连续型是一样的

$$X_{k+1}=AX_k+Bu_k$$ $$X_{1}=AX_0+Bu_0\\\\ X_2=AX_1+Bu_1=A^2X_0+ABu_0+Bu_1\\\\ \dots\\\\ X_n=AX_{n-1}+Bu_{n-1}=A^nX_0+A^{n-1}Bu_0+\dots+ABu_{n-2}+Bu_{n-1}$$

转化为矩阵形式

$$X_n=\begin{bmatrix}B&AB&A^{n-1}B&A^n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{n-1}\\u_{n-2}\\\dots\\u_0\\X_0\end{bmatrix}$$

想要实现该方程中 $u$ 有解，需要保证系数矩阵行满秩，也就是可控，一般来说初始状态 $X_0=0$，所以上式可以写作

$$X_n=\begin{bmatrix}B&AB&A^{n-1}B\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{n-1}\\u_{n-2}\\\dots\\u_0\end{bmatrix}$$

但是这里所说的系统可控并不能使系统从一点直接到另一点，只能沿着特定的轨迹来运行到下一个点，并不能控制轨迹，这个系数矩阵可以定义为

$$Co=\begin{bmatrix}B&AB&A^{n-1}B\end{bmatrix}$$