传递函数和状态空间方程

状态空间

对于一个系统的状态空间方程，可以使用 laplace 变换来得到系统的运行状态方程

状态空间方程——一个包含输入，输出，状态变量的集合的一阶微分方程，但是对于高阶的系统，可以选择合适的状态量来消除高阶的系数

根据下式求出的状态空间方程中，对于矩阵 A 的特征值是决定系统极点的位置，可能会决定系统的稳定性

状态空间方程的解

过程不再写了，直接结论

$$X(t)=e^{A(t-t_0)}X(t_0)+\int_{t_0}^t{e^{A(t-\tau)}Bu(\tau)}d\tau$$

其中 $e^{A(t-t_0)}$ 是状态转移矩阵，表示系统状态转移变化的规律，是一个实时变化的矩阵，A 矩阵对其有着重要的作用，当 A 的特征值小于0时， $X(t)$ 是不断趋近于 0 的，是系统稳定性分析的一个重要方式，但是 A 矩阵的特征值中含有虚数就表示该系统是有震荡的（根据欧拉公式，引入虚数相当于是引入了 sint 和 cost，实际上是引入了震荡），要保证系统稳定，一定要保证特征值的实部小于零

第二项是一个卷积，表示输入与输出之间的动态变化的关系

传递函数→状态空间方程

一阶系统

假设传递函数为

$$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{a_0}{b_0s+b_1}$$

可以写作

$$Y(s)(b_0s+b_1)=a_0U(s)$$

即

$$b_0\dot{y}+b_1y=a_0u$$

则可设

$$x_1=y$$

则有

$$\dot{x_1}=-\frac{b_1}{b_0}x_1+\frac{a_0}{b_0}u\\\\ y=x_1$$

得到状态方程

$$A=-\frac{b_1}{b_0}\\\\ B=\frac{a_0}{b_0}\\\\ C=1$$

二阶系统

设传递函数为

$$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{a_0s+a_1}{b_0s^2+b_1s+b_2}$$

写作

$$Y(s)(b_0s^2+b_1s+b_2)=(a_0s+a_1)U(s)$$ $$b_0\ddot{y}+b_1\dot{y}+b_2y=a_0\dot{x}+a_1{x}$$

令

$$b_0\ddot{y_1}+b_1\dot{y_1}+b_2y_1=u\\\\ y=a_0\dot{x_1}+a_1x_1$$ $$\left\{\begin{aligned}&x_1=y_1\\&x_2=\dot{y_1}\end{aligned}\right.$$ $$\left\{\begin{aligned}&\begin{bmatrix}\dot{x_1}\\\dot{x_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\-\frac{b_2}{b_0}&-\frac{b_1}{b_0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\\frac{1}{b_0}\end{bmatrix}u\\&y=\begin{bmatrix}a_1&a_0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\end{aligned}\right.$$

则

$$A=\begin{bmatrix}0&1\\-\frac{b_2}{b_0}&-\frac{b_1}{b_0}\end{bmatrix}\\\\ B=\begin{bmatrix}0\\\frac{1}{b_0}\end{bmatrix}\\\\ C=\begin{bmatrix}a_1&a_0\end{bmatrix}$$

高阶系统

$$G(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{\sum_{i=0}^{N-1}a_is^i}{\sum_{i=0}^{N}b_is^i}$$

则

$$\left\{\begin{aligned}&\dot{X}=AX+BU\\&Y=CX\end{aligned}\right.$$

其中

$$A=\begin{bmatrix}0&1&0&&0\\0&0&1&&0\\\\0&0&0&&1\\-\frac{b_0}{b_N}&-\frac{b_1}{b_N}&-\frac{b_2}{b_N}&&-\frac{b_{N-1}}{b_N}\end{bmatrix}\\\\ B=\begin{bmatrix}0\\0\\\\\frac{1}{b_N}\end{bmatrix}\\\\ C=\begin{bmatrix}a_0&a_1&a_2&&a_{N-1}\end{bmatrix}$$

状态空间方程→传递函数

对于一个状态空间方程

$$\left\{\begin{aligned}&\dot{X}=AX+BU\\&Y=CX+Du\end{aligned}\right.$$

对方程两侧进行 laplace 变换，得

$$L(\dot{X})=L(AX+Bu)\\\\ sX(s)=AX(s)+Bu(s)\\\\ (sI-A)X(s)=Bu(s)$$

其中 $I$ 是单位对角阵，所以可以得出

$$X(s)=(SI-A)^{-1}Bu(s)$$

对另一个式子进行 laplace 变换得到

$$L(Y)=L(CX+Du)\\\\ Y(s)=CX(s)+Du(s)$$

带入得

$$Y(s)=(C(SI-A)^{-1}B+D)u(s)$$

所以得到传递函数

$$G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D$$

连续系统离散化

对于传递函数

$$\dot{x}=Ax+Bu$$

该系统进行离散化之后可以得到

$$x(k+1)=\overline Ax(k)+\overline{B}u(k)$$

其中

$$\overline{A}=e^{AT}\\\\ \overline{B}=\int$$

对 $e^{AT}$ 进行泰勒级数展开，得到

$$e^{AT}=I+AT+\frac{1}{2!}A^2T^2+$$

一般来说可以只取前三项