例子

对于一个简单的倒立摆

1708427697880.png

可以知道系统状态方程是

Lϕ¨+gsinϕ=0L\ddot{\phi}+gsin\phi=0

x1=ϕx2=ϕ˙x_1=\phi\\\\ x_2=\dot{\phi}

得到

x˙1=x2x˙2=gLsinx1\dot{x}_1=x_2\\\\ \dot{x}_2=-\frac{g}{L}sinx_1

寻找李雅普诺夫函数,可以使用能量方程

E=K动能+P势能=12mv2+mgh=12m(Lϕ˙)2+mgL(1cosϕ)E=K\text{动能}+P\text{势能}\\\\ =\frac{1}{2}mv^2+mgh=\frac{1}{2}m(L\dot{\phi})^2+mgL(1-cos\phi)

所以得到李雅普诺夫函数

V(x)=12m(Lx2)2+mgL(1cosx1)V(x)=\frac{1}{2}m(Lx_2)^2+mgL(1-cosx_1)

开始分析,看得出来

V(0)=0V(0)=0

并且,对于任意 x1,x2x_1,x_2,可以得到

V(x)>0V(x)>0

是满足正定条件的

求导得到

V˙=Vf(x)=[Vx1Vx2][f1f2]=[mgLsinx1mL2x2][x2gLsinx1]=0\dot{V}=\triangledown V f(x)=\begin{bmatrix}\frac{\partial V}{\partial x_1}&\frac{\partial V}{\partial x_2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}f_1\\f_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}mgLsinx_1&mL^2x_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_2\\-\frac{g}{L}sinx_1\end{bmatrix}=0

所以满足半负定

V˙=00\dot{V}=0\leq 0

所以这个系统稳定,并且 V˙=0\dot{V}=0 表明这个系统能量不变

当引入阻力之后,可以得到

mLϕ¨=mgsinϕ˙kLϕ˙V(x)=12m(Lx2)2+mgL(1cosx1)V˙(x)=kL2x22mL\ddot{\phi}=-mgsin\dot{\phi}-kL\dot{\phi}\\\\ V(x)=\frac{1}{2}m(Lx_2)^2+mgL(1-cosx_1)\\\\ \dot{V}(x)=-kL^2x_2^2

在这里出现一个很离谱的情况,也就是 V˙(x)\dot{V}(x)[x10]\begin{bmatrix}x_1&0\end{bmatrix} 处总是为 0 的,这导致该函数并不是一个负定的,而是一个半负定系统。

这个系统是一个稳定系统,不是一个渐进稳定系统

动机

在上述的例子中

mLϕ¨=mgsinϕ˙kLϕ˙V(x)=12m(Lx2)2+mgL(1cosx1)V˙(x)=kL2x22mL\ddot{\phi}=-mgsin\dot{\phi}-kL\dot{\phi}\\\\ V(x)=\frac{1}{2}m(Lx_2)^2+mgL(1-cosx_1)\\\\ \dot{V}(x)=-kL^2x_2^2

所以可以得到

V(0)=0 : PDV(x)>0V˙0 : NSDV(0)=0~:~PD\\\\ V(x)>0\\\\ \dot{V}\leq 0~:~NSD

系统是一个稳定系统,但不是一个渐进稳定系统,根据物理学,这个系统最终会停下来,但是数学上并没有证明,所以引入不变性原理,用来扩大李雅普诺夫的判定

不变性原理

  1. V(x):PDV(x):PD
  2. V˙(x):NSD\dot{V}(x):NSD
  3. 当且仅当 X=0X=0 时, V˙=0\dot{V}=0

所以就满足系统在平衡点渐进稳定

例子

对于上述的例子,已知 V(x):PD,V˙(x):NSDV(x):PD,\dot{V}(x):NSD

所以可以令 V˙=0\dot{V}=0,此时 x2=0x_2=0

V˙\dot{V} 恒为 0 时, x2x_2 恒为 0,也就是 x˙2\dot{x}_2 恒为 0

由于

x˙2=gLsinx1\dot{x}_2=-\frac{g}{L}sinx_1

所以 x1x_1 恒为 0

也就证明了只有当 X=0X=0 时, V˙=0\dot{V}=0,也就是系统是渐进稳定的