系统的可观测性和可估计性

前言

线性系统是一种数学模型，是指同时满足叠加性与均匀性的系统

非线性系统是输出与输入不成正比的系统，特征是叠加性原理不再成立

时不变系统，指特性不随时间变化的系统

T(x(n))=y(n)\\\Downarrow\\T(x(n-n_0))=y(n-n_0)

时变系统是指系统中一个或多个参数值随着时间而变化，从而整个特性也随着时间而变化的系统，其数学模型是一个变系数线性微分方程

时变系统的特点是，其输出响应的波形不仅同输入波形有关，而且也同输入信号加入的时刻有关，这一特点增加了分析和研究的复杂性

系统是完全可观测的，当且仅当通过有限时间内的输出测量 $y(t)$ 和输入 $u(t)$ 可以唯一确定系统的初始状态 $x_0$

对于 $n$ 阶的线性时不变系统

\dot{x}=Ax+Bu\\y=Cx+Du

其可观测矩阵为

O=\begin{bmatrix}C\\CA\\\vdots\\CA^{n-1}\end{bmatrix}

若矩阵 $O$ 列满秩，即 $rank(O)=n$ ，则系统完全可观测，也就是所有状态变量都可以通过 $y(t)$ 间接反应，无不可测状态。可观测性依赖于矩阵 $A$ 和 $C$ 的结构即系统动力学与输出矩阵的耦合关系

系统是可估计的，当且仅当所有不可观测的状态模态是渐进稳定的，即特征值的实部为负，也就是不可观测状态不会发散

可以通过 PBH 判据来判断系统的可估计性，即对于所有满足 $Re(\lambda)\geq0$ 的 $\lambda$ 都有

rank(\begin{bmatrix}A-\lambda I\\C\end{bmatrix})=n

则系统满足可估计性