线性状态观测器和线性控制器综合

对于一个不可观测的系统的控制，就需要用到设计观测器和控制器结合

对于一个系统

$$\dot{X}=AX+Bu\\y=CX+Du$$

观测器

根据之前的观测器设计，可以得到

$$\dot{e_x}=(A-LC)e_x\\e_x={X}-{\hat{X}}\\L=\begin{bmatrix}l_1\\l_2\end{bmatrix}$$

需要 $A-LC$ 的特征值小于 0 ，才能使得该误差值逐渐趋近于 0

控制器

其中需要设计控制器为

$$u=-K\hat{X}$$

带入到系统状态方程中可以得到

$$\dot{X}=AX-BK(X-e_x)=(A-BK)X+BKe_x$$

与观测器中的式子合并可以得到

$$\begin{bmatrix}\dot{e_x}\\\dot{x}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A-LC&0\\BK&A-BK\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{e_x}\\{x}\end{bmatrix}=M\begin{bmatrix}{e_x}\\{x}\end{bmatrix}$$

这里就看出来了，M 矩阵的特征值得实部必须小于 0 ，实际上该矩阵的特征值就是 $A-LC$ 和 $A-BK$ 的特征值

最后就是要求观测器的 $A-LC$ 特征值与控制器的 $A-BK$ 的特征值小于 0，它们两个就分离开了

有一个要求就是观测器的收敛速度一定要大于控制器的收敛速度，以此来保证观测到的数据都是较为准确的

一般来说极点位置 $s=-a$ 越小系统收敛越快

一个小栗子

建立系统状态空间方程，令

$$X=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\\\\ x_1=\phi\\\\ x_2=\dot{\phi}（不可测）\\\\ u=\frac{1}{L}\ddot{x}_{block}$$

则从上式可以得到状态空间方程

$$\dot{X}=\begin{bmatrix}0&1\\\frac{g}{L}&0\end{bmatrix}X+\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}u\\\\ y=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}X+[0]u$$

可以得到

$$A-LC=\begin{bmatrix}0&1\\\frac{g}{L}&0\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}l_1\\l_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-l_1&1\\\frac{g}{L}-l_2&0\end{bmatrix}$$

可以假设

$$g=10~N/m^2\\\\ L=1~m$$

带入后得到

$$A-LC=\begin{bmatrix}-l_1&1\\10-l_2&0\end{bmatrix}$$

求其特征方程为

$$|\lambda I-(A-LC)|=0\\\\ \Downarrow\\\\ \lambda^2+l_1\lambda+l_2-10=0$$

所以，令该特征方程的两个根都为 -1 ，可以得到

$$l_1=2\\\\ l_2=11$$

所以带入到估计值的方程中可以得到

$$\dot{\hat{X}}=(A-LC)\hat{X}+(B-LD)u+Ly\\\\ \Downarrow\\\\ \dot{\hat{X}}=\begin{bmatrix}-2&1\\-1&0\end{bmatrix}\hat{X}+\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}u+\begin{bmatrix}2\\11\end{bmatrix}y$$

对于线性控制器来说，输入 $u$ 满足

$$u=-K\hat{X}$$ $$\begin{bmatrix}\dot{e_x}\\\dot{x}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A-LC&0\\BK&A-BK\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{e_x}\\{x}\end{bmatrix}=M\begin{bmatrix}{e_x}\\{x}\end{bmatrix}$$

特征方程为

$$\lambda^2-k_2\lambda-10-k_1=0$$

令 $A-BK$ 的特征方程的两个根都为 -1，可以得到

$$k_1=-11\\\\ k_2=-2$$

所以得到

$$u=\begin{bmatrix}11&2\end{bmatrix}\hat{X}$$