线性控制器设计

系统控制

对于一个开环控制器来说

$$\dot{X}=AX$$

这里的 $A$ 的特征值 $\lambda$ 决定系统的表现，稳定性

当引入一个输入量时，控制器变为

$$\dot{X}=AX+Bu$$

其中由于 $u$ 是 $X$ 的函数，所以系统形成了一个闭环控制

对于线性控制器来说，输入 $u$ 满足

$$u=-KX$$

代入到控制器中可以得到

$$\dot{X}=AX-BKX=(A-BK)X$$

可以选择 $K$ 的数值来使得 $X$ 前的系数的特征值 $\lambda_i$ 处于一个期望的位置上，一般来说，需要保证其特征值均 $≤0$ 才能使得系统稳定

选取 $\lambda_i$ 的原则

• 如果选取 $\lambda$ 为虚数，那么一定会有共轭解存在，将一定会引入一个反复的振动
• $\lambda$ 决定收敛的速度，最后的解的形式会变为 $c_1e^{\lambda_1}+c_2e^{\lambda_2}+…$
• 考虑输入 $u$，有些控制理论中会引入代价函数 $J=\int_0^{\infty}(X^TQX+U^TRU)dt$ ，用于调节参数平衡 u 与系统稳定的关系

控制器设计之前一定要判断一下系统的可控性，一般来说 先可控，再稳定

一个小栗子

对于一阶倒立摆模型，下面的小块也能移动

当小球在运动中的运动学方程（初始位置为竖直点）

$$x_{ball}=Lsin(\phi)+x_{block}\rightarrow x_{ball}=L\phi+x_{block}\\y_{ball}=L(1-cos(\phi))=0$$

小球的动力学方程

$$F_x=m\ddot{x}_{ball}=Fsin(\phi)=F\phi=ML\ddot{\phi}+m\ddot{x}_{block}\\F_y=Fcos(\phi)=F=Mg$$

动力学方程化简得到

$$Mg\phi=ML\ddot{\phi}+M\ddot{x}_{block}\\\Downarrow\\\ddot{\phi}-\frac{g}{L}\phi+\frac{1}{L}\ddot{x}_{block}=0$$

建立系统状态空间方程，令

$$X=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\\x_1=\phi\\x_2=\dot{\phi}\\u=\frac{1}{L}\ddot{x}_{block}$$

则从上式可以得到状态空间方程

$$\dot{X}=\begin{bmatrix}0&1\\\frac{g}{L}&0\end{bmatrix}X+\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}u\\y=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}X+[0]u$$

• 对于开环系统，也就是没有输入 u

  $$A=\begin{bmatrix}0&1\\\frac{g}{L}&0\end{bmatrix}$$

  特征值中有一个大于 0 的特征值，不稳定

• 对于闭环系统

  系统的可控性，由系统的可控性中可知

  $$Co=\begin{bmatrix}B&AB\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&-1\\-1&0\end{bmatrix}\\Rank(Co)=2$$

  所以系统可控，令

  $$u=-\begin{bmatrix}k_1&k_2\end{bmatrix}X$$

  带入之后得到

  $$\dot{X}=\begin{bmatrix}0&1\\\frac{g}{L}+k_1&k_2\end{bmatrix}X=A_dX$$

  求系数矩阵的特征根

  $$|\lambda I-A_d|=0\\\Downarrow\\\lambda^2-k_2\lambda-\frac{g}{L}-k_1=0$$

  为了使得系统稳定，所以一般使其特征根位于负半轴上，所以可以将该式子定义为

  $$\lambda^2-k_2\lambda-\frac{g}{L}-k_1=0=\lambda^2+2\lambda+1$$

  得到

  $$k_1=-1-\frac{g}{L}\\k_2=-2$$

  带入之后得到

  $$u=\begin{bmatrix}1+\frac{g}{L}&2\end{bmatrix}X$$

线性控制器——状态跟踪

对于上面所设计的控制器，如果想要使系统状态稳定再某一个位置时，就需要使用状态跟踪了

所以引入一个期望值，这里不对 $x_2$ 进行跟踪

$$x_{1d}$$

令

$$e_1=x_{1d}-x_1\\\\E=\begin{bmatrix}e_1\\x_2\end{bmatrix}$$

一般来说，系统的期望值是不变的，所以可以得到

$$\dot{e_1}=-\dot{x}_1$$

所以可以得到，这里的 $a_{11}$ 是矩阵 A 中的一个元素

$$\dot{E}=AE+Bu-\begin{bmatrix}0\\a_{11}\end{bmatrix}x_{1d}$$

可以设计控制器，目的是稳定系统和调整平衡点

$$u=-KE-B_d^{-1}GX_d$$

带入得到

$$\dot{E}=(A_d-B_dK)E$$

所以需要选择合适的 $K$ 使系统稳定

还是上面那个倒立摆的例子

对于上面所设计的控制器，如果想要使系统状态稳定再某一个位置时，就需要使用状态跟踪了

所以引入一个期望值，这里不对 $x_2$ 进行跟踪

$$x_{1d}$$

令

$$e_1=x_{1d}-x_1\\\\E=\begin{bmatrix}e_1\\x_2\end{bmatrix}$$

一般来说，系统的期望值是不变的，所以可以得到

$$\dot{e_1}=-\dot{x}_1$$

对于上面的系统

$$A=\begin{bmatrix}0&1\\\frac{g}{L}&0\end{bmatrix}\\B=\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}$$

带入得到

$$\dot{E}=\begin{bmatrix}0&-1\\-\frac{g}{L}&0\end{bmatrix}E+\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}u+\begin{bmatrix}0\\\frac{g}{L}\end{bmatrix}x_{1d}$$

所以可以设计

$$u=-KE+\frac{g}{L}x_{1d}$$

带入之后得到

$$A-BK=\begin{bmatrix}0&1\\-\frac{g}{L}+k_1&k_2\end{bmatrix}$$

求得特征方程为

$$\lambda^2-k_2\lambda+k_1-\frac{g}{L}=0$$

令

$$\lambda^2-k_2\lambda-\frac{g}{L}+k_1=0=\lambda^2+2\lambda+1$$

得到

$$k_2=-2\\k_1=1+\frac{g}{L}$$

也就是

$$u=\begin{bmatrix}-1-\frac{g}{L}&2\end{bmatrix}E+\frac{g}{L}x_{1d}=-x_{1d}+(1+\frac{g}{L})x_1+2x_2$$