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系统的可控性

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系统可控性的理论分析

对于一个系统状态方程

X˙=AX+Bu\dot{X}=AX+Bu

离散型与连续型是一样的

Xk+1=AXk+BukX_{k+1}=AX_k+Bu_k

X1=AX0+Bu0X2=AX1+Bu1=A2X0+ABu0+Bu1…Xn=AXn−1+Bun−1=AnX0+An−1Bu0+⋯+ABun−2+Bun−1X_{1}=AX_0+Bu_0\\\\ X_2=AX_1+Bu_1=A^2X_0+ABu_0+Bu_1\\\\ \dots\\\\ X_n=AX_{n-1}+Bu_{n-1}=A^nX_0+A^{n-1}Bu_0+\dots+ABu_{n-2}+Bu_{n-1}

转化为矩阵形式

Xn=[BABAn−1BAn][un−1un−2…u0X0]X_n=\begin{bmatrix}B&AB&A^{n-1}B&A^n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{n-1}\\u_{n-2}\\\dots\\u_0\\X_0\end{bmatrix}

想要实现该方程中 uu 有解，需要保证系数矩阵行满秩，也就是可控，一般来说初始状态 X0=0X_0=0，所以上式可以写作

Xn=[BABAn−1B][un−1un−2…u0]X_n=\begin{bmatrix}B&AB&A^{n-1}B\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{n-1}\\u_{n-2}\\\dots\\u_0\end{bmatrix}

但是这里所说的系统可控并不能使系统从一点直接到另一点，只能沿着特定的轨迹来运行到下一个点，并不能控制轨迹，这个系数矩阵可以定义为

Co=[BABAn−1B]Co=\begin{bmatrix}B&AB&A^{n-1}B\end{bmatrix}