线性状态观测器和线性控制器综合
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对于一个不可观测的系统的控制，就需要用到设计观测器和控制器结合
对于一个系统
$$ \dot{X}=AX+Bu\\y=CX+Du $$观测器
根据之前的观测器设计，可以得到
$$ \dot{e_x}=(A-LC)e_x\\e_x={X}-{\hat{X}}\\L=\begin{bmatrix}l_1\\l_2\end{bmatrix} $$需要 $A-LC$ 的特征值小于 0 ，才能使得该误差值逐渐趋近于 0
控制器
其中需要设计控制器为
$$ u=-K\hat{X} $$带入到系统状态方程中可以得到
$$ \dot{X}=AX-BK(X-e_x)=(A-BK)X+BKe_x $$与观测器中的式子合并可以得到
$$ \begin{bmatrix}\dot{e_x}\\\dot{x}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A-LC&0\\BK&A-BK\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{e_x}\\{x}\end{bmatrix}=M\begin{bmatrix}{e_x}\\{x}\end{bmatrix} $$这里就看出来了，M 矩阵的特征值得实部必须小于 0 ，实际上该矩阵的特征值就是 $A-LC$ 和 $A-BK$ 的特征值
最后就是要求观测器的 $A-LC$ 特征值与控制器的 $A-BK$ 的特征值小于 0，它们两个就分离开了
有一个要求就是观测器的收敛速度一定要大于控制器的收敛速度，以此来保证观测到的数据都是较为准确的
一般来说极点位置 $s=-a$ 越小系统收敛越快
一个小栗子
建立系统状态空间方程，令
$$ X=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\\\\ x_1=\phi\\\\ x_2=\dot{\phi}（不可测）\\\\ u=\frac{1}{L}\ddot{x}_{block} $$则从上式可以得到状态空间方程
$$ \dot{X}=\begin{bmatrix}0&1\\\frac{g}{L}&0\end{bmatrix}X+\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}u\\\\ y=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}X+[0]u $$可以得到
$$ A-LC=\begin{bmatrix}0&1\\\frac{g}{L}&0\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}l_1\\l_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-l_1&1\\\frac{g}{L}-l_2&0\end{bmatrix} $$可以假设
$$ g=10~N/m^2\\\\ L=1~m $$带入后得到
$$ A-LC=\begin{bmatrix}-l_1&1\\10-l_2&0\end{bmatrix} $$求其特征方程为
$$ |\lambda I-(A-LC)|=0\\\\ \Downarrow\\\\ \lambda^2+l_1\lambda+l_2-10=0 $$所以，令该特征方程的两个根都为 -1 ，可以得到
$$ l_1=2\\\\ l_2=11 $$所以带入到估计值的方程中可以得到
$$ \dot{\hat{X}}=(A-LC)\hat{X}+(B-LD)u+Ly\\\\ \Downarrow\\\\ \dot{\hat{X}}=\begin{bmatrix}-2&1\\-1&0\end{bmatrix}\hat{X}+\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}u+\begin{bmatrix}2\\11\end{bmatrix}y $$对于线性控制器来说，输入 $u$ 满足
$$ u=-K\hat{X} $$$$ \begin{bmatrix}\dot{e_x}\\\dot{x}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A-LC&0\\BK&A-BK\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{e_x}\\{x}\end{bmatrix}=M\begin{bmatrix}{e_x}\\{x}\end{bmatrix} $$特征方程为
$$ \lambda^2-k_2\lambda-10-k_1=0 $$令 $A-BK$ 的特征方程的两个根都为 -1，可以得到
$$ k_1=-11\\\\ k_2=-2 $$所以得到
$$ u=\begin{bmatrix}11&2\end{bmatrix}\hat{X} $$